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Die Chaostheorie
oder
Das böse Elektron am Rande des Universums

Die Nichtlineare Dynamik bezeichnet man hĂ€ufig auch als "Chaostheorie", weil sie eine besondere Art der zeitlichen Entwicklung von Systemen, das sog. gesetzmĂ€ĂŸige Chaos, untersucht. Dabei handelt sich um Bewegungen, die  wie zufĂ€llig aussehen, aber doch streng gesetzmĂ€ĂŸig verlaufen und schon n einfachen Systemen auftreten können.  

Die auch im Alltag allgegenwĂ€rtige Diskussion um die HintergrĂŒnde der Chaostheorie ist weniger naturwissenschaftlich als vielmehr philosophisch motiviert.

Eine entscheidende Frage ist beispielsweise, ob mit Hilfe der Newtonschen Bewegungsgleichungen die gesamte Zukunft des Universums fĂŒr alle Zeiten vorhersagbar sei, wenn man dessen Zustand zu einem beliebigen Zeitpunkt, d.h. Ort und Geschwindigkeit aller vorhandenen Atome exakt kenne.

Dies war nĂ€mlich die Auffassung der Vertreter des Determinismus, die in der Aussage gipfelte, daß aufgrund dieser theoretischen Vorhersagbarkeit das Schicksal aller Menschen von vorneherein vorausbestimmt sei. Was versteht man aber unter Exaktheit? Diese Fragestellung löste lange Zeit zwischen Physikern und Philosophen heftige und langandauernde Unstimmigkeiten aus.

Das Fazit daraus lautet:

Aufgrund der Heisenbergschen UnschĂ€rferelation gibt es eigentlich keine beliebige Exaktheit. Deswegen muß man zwischen zwei Prinzipien unterscheiden, dem der schwachen und dem der starken KausalitĂ€t. Das Prinzip der schwachen/gleichen KausalitĂ€t besagt, daß gleiche Ursachen die gleiche Wirkung haben. Dementsprechend lautet das Prinzip der starken /Ă€hnlichen KausalitĂ€t: Ähnliche Ursachen haben Ă€hnliche Wirkungen. Das Prinzip der schwachen KausalitĂ€t ist auf jedes System anwendbar. Da bei der Wiederholung eines Versuches beliebig exakte Ausgangsbedingungen jedoch nie mehr erreicht werden können, benötigt man das Prinzip der starken KausalitĂ€t, um eine Aussage ĂŒber die Berechenbarkeit eines Systemes treffen zu können.

Entgegen der deterministischen Auffassung sollte sich nun im Laufe dieses Jahrhunderts herausstellen, daß viele Systeme des    Makro- und Mikrokosmos, obwohl sie physikalischen Gesetzen gehorchen, sehr sensibel auf kleine Änderungen der Anfangsbedingungen oder Störungen reagieren. Ihr Verhalten ist deshalb auf lĂ€ngere Zeit nicht voraussagbar. Dieses sensible Verhalten und die dadurch bedingte Verletzung der starken KausalitĂ€t sind Hauptvoraussetzungen fĂŒr die Entstehung von Chaos. Deterministisches Chaos lĂ€ĂŸt sich somit als chaotisches, unberechenbares Verhalten trotz der Anwendbarkeit deterministischer Gesetze definieren. Beispiele, die die sensible AbhĂ€ngigkeit von den Anfangsbedingungen verdeutlichen und damit die deterministische Philosophie verdeutlichen sollten, riefen unglĂ€ubige Gesichter und Skepsis hervor:

·       So kann beispielsweise theoretisch ein Schmetterling durch seinen FlĂŒgelschlag einen Orkan auslösen.

·       Die Bewegung von Billardkugeln ist bereits nach der 9ten Karambolage der Kugeln völlig unberechenbar, wenn sich ein Zuschauer im Raum bewegt, der auf die Kugeln Ă€ußerst geringe GravitationskrĂ€fte ausĂŒbt.

·       Das erstaunlichste Beispiel ist aber folgendes:

     Die Bewegung von SauerstoffmolekĂŒlen, die in einer Sekunde      milliardenfach zusammenprallen, ist bereits nach der 56ten      Karambolage, also einem Bruchteil von Millisekunden, nicht      mehr berechenbar, wenn man die geringste aller auf die      MolekĂŒle wirkenden KrĂ€fte berĂŒcksichtigt, nĂ€mlich die      Gravitationskraft eines Elektrons, das sich irgendwo am Rande      des Universums befindet.

Dieses Beispiel rief soviel Aufsehen hervor, daß das "böse Elektron" schon bald zu einem Schlagwort wurde. Selbst wenn beim Tischtennisspielen einmal der Ball versprang, war das "böse Elektron am Rande des Universums" daran schuld.

Das Beispiel mit dem SchmetterlingsflĂŒgel hat sich zwar zu einem Symbol der Chaosphysik entwickelt; wegen der Abstraktheit und teilweise starken Übertreibung der obigen Beispiele sollen im folgenden aber einfachere und nachvollziehbarere Systeme betrachtet werden, anhand derer man chaotisches Verhalten ebenfalls gut erklĂ€ren kann, wie zum Beispiel das Magnetpendel. 

Lenkt man eine an einem Faden hĂ€ngende Eisenkugel aus und lĂ€ĂŸt sie im Feld dreier Magnete hin- und herschwingen, so wirken auf das Pendel im wesentlichen drei KrĂ€fte:

1. magnetische KrÀfte,

2. Erdanziehungskraft und

3. Reibungskraft.

Letztere bewirkt, daß das Pendel als offenes System mit der Zeit so viel Energie nach außen abgibt, daß es letztlich ĂŒber einem der drei Magnete zum Stillstand kommt. Versucht man nun, die Kugel mehrere Male so exakt wie möglich an derselben Stelle loszulassen, so kann sie trotzdem immer ĂŒber einem anderen Magneten stehenbleiben, wobei fĂŒr ein gut justiertes Pendel die Wahrscheinlichkeit fĂŒr jeden Magneten, Endpunkt der Pendelbewegung zu werden, bei genau einem Drittel liegt. Die damit verbundene Unvorhersagbarkeit der Bewegung liegt an der schon erwĂ€hnten SensitivitĂ€t auf kleine Änderungen der Anfangsbedingungen. Man kann fĂŒr jede Auslenkung des Pendels anhand der zugrundeliegenden deterministischen Gesetze berechnen, ĂŒber welchem Magneten die Kugel zum Stillstand kommen wird. Schon eine minimale Änderung des Startpunktes bewirkt, daß die Kugel ĂŒber einem anderen Magneten stehenbleibt.

Kennzeichnend fĂŒr viele chaotische Systeme ist das Auftreten von InstabilitĂ€tsstellen oder InstabilitĂ€tslinien. Beim Magnetpendel stellen solche InstabilitĂ€tslinien jeweils die Symmetrielinien zwischen zwei Magneten dar. Da sich auf dieser Linie die magnetischen KrĂ€fte beider Magnete gegenseitig aufheben, mĂŒĂŸte eine Kugel, die auf der Symmetrielinie losgelassen wird, theoretisch genau auf dieser in Richtung des dritten Magneten hin- und herschwingen, bis sie schließlich ĂŒber diesem zum Stillstand kommt. In der Praxis wird man diese Bewegung jedoch nie erreichen, da man beim Loslassen des Pendels die Symmetrielinie nie exakt treffen wird und die Kraft eines der beiden sich gegenseitig aufhebenden Magneten doch leicht ĂŒberwiegen wird. Somit wird das Pendel mit der Zeit seine Ideallinie verlassen und seine Schwingung wieder chaotisch werden. Da ĂŒber den Symmetrielinien die SensitivitĂ€t des Pendels besonders groß ist, werden sie als InstabilitĂ€tslinien bezeichnet. Wegen dieser InstabilitĂ€tslinien ist das Prinzip der starken KausalitĂ€t verletzt. Das Magnetpendel ist deterministisch, aber nicht vorhersagbar.

Die am Magnetpendel erklĂ€rte Verletzung der starken KausalitĂ€t machen sich beispielsweise viele GlĂŒcksspiele wie WĂŒrfel, die Ziehung der Lottozahlen oder das Roulettespiel zunutze. Beim WĂŒrfel haben die Ecken und Kanten die Funktion von InstabilitĂ€tspunkten, die die Unvorhersagbarkeit des Systems bewirken. SelbstĂ€hnliche Strukturen, auch Fraktale genannt, zeichnen sich dadurch aus, daß jeder noch so kleine Bildausschnitt dieselben Strukturen wie das gesamte Bild aufweist, ihm also Ă€hnelt. BerĂŒhmte Beispiele fĂŒr solche Fraktale sind beispielweise das Sierpinski-Dreieck oder die Mandelbrotmenge. Fraktale und auch die Strukturbildung (BĂ©nard-Zellen, Taylor-Rollen) zeigen, daß dem chaotischen Verhalten doch eine Ordnung ĂŒberlagert sein kann.

Was letztendlich aber den Ausschlag fĂŒr die chaotische Bewegung des Magnetpendels gibt, ist die NichtlinearitĂ€t der ihm zugrundeliegende Bewegungsgleichung. Diese NichtlinearitĂ€t ist die wichtigste Voraussetzung fĂŒr die Entstehung von Chaos. Der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Bewegungsgleichungen soll zum besseren VerstĂ€ndnis kurz am Beispiel des Schwerependels dargestellt werden. Beim Schwerependel gilt fĂŒr die rĂŒcktreibende Kraft, die die Pendelmasse in Richtung der Gleichgewichtslage beschleunigt:

F ” sin(x/l) wobei x die momentane Auslenkung und l die

LĂ€nge des Pendels beschreibt.

FĂŒr kleine Auslenkwinkel a (Þ x << l) kann man jedoch davon ausgehen, daß sin(x/l) " x/l.
Weil l konstant ist, kann man fĂŒr kleine Winkel nun folgende Vereinfachung einfĂŒhren: F ” x.

Somit sind fĂŒr kleine Auslenkungen die beiden das System beschreibenden GrĂ¶ĂŸen (momentane Auslenkung und beschleunigende Kraft) direkt proportional , wĂ€hrend sie fĂŒr grĂ¶ĂŸere Winkel ĂŒber dem Sinus des Winkels proportional sind. Im ersten Fall ist die Bewegungsgleichung linear und die Schwingung harmonisch, im zweiten Fall ist die Bewegung nichtlinear, die Schwingung anharmonisch. FĂŒr Winkel, die grĂ¶ĂŸer als 90° sind, nimmt mit grĂ¶ĂŸer werdendem Winkel die RĂŒckstellkraft ab , bis sie schließlich bei einer Auslenkung von 180° verschwindet. Theoretisch mĂŒĂŸte das Pendel bei dieser Anfangsauslenkung stillstehen. Doch in der RealitĂ€t wird es durch eine kleinste Änderung der Anfangsbedingungen seine Schwingung entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn beginnen. Der Auslenkwinkel von 180° stellt somit einen InstabilitĂ€tspunkt dar.

Was hat aber das Pendel mit der turbulenten Strömung gemeinsam? Auch die strömende FlĂŒssigkeit gehorcht einer nichtlinearen Bewegungsgleichung, die man erhĂ€lt, wenn man die Bilanz aller KrĂ€fte, die auf eine strömende FlĂŒssigkeit wirken (Reibungskraft, Druckkraft, TrĂ€gheitskraft und Ă€ußere KrĂ€fte wie die Erdanziehungskraft) erstellt. Diese Bewegungsgleichung ist die Grundgleichung der Aero- und Hydrodynamik, die Navier- Stokes- Gleichung. Ihr gehorchen sowohl die laminare, als auch die turbulente Strömung.